定 价：25 元
丛书名： 普通高等教育“十三五”应用型本科规划教材
- 作者：张媛,伍君芬,程云龙
- 出版时间：2017/8/1
- ISBN：9787302480648
- 出 版 社：清华大学出版社
- 中图法分类：O174.5
- 页码：170
- 纸张：胶版纸
- 版次：1
- 开本：16K
- 字数：(单位：千字)
本书结合作者多年的教学经验和科研成果, 并吸收国内外同类教材的优点编著, 主要介绍复变函数和积分变换的基本概念、理论与方法。内容包括复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯变换和复变函数的MATLAB实验。
本套丛书包含《高等数学（上下册）》《线性代数及其应用》《概率论与数理统计》《复变函数与积分变换》几个分册，书中内容理论联系实际，应用性强，与MATLAB软件结合紧密，适合作为应用型本科院校数学公共基础课教材使用。
在科学技术高度融合发展的今天，复变函数与积分变换已经广泛应用于自然科学的众多领域，如控制工程、理论物理、电子工程、流体力学等．复变函数与积分变换是高等院校理工科学生必备的数学基础知识．
本书作者参照教育部关于普通应用型本科院校的基本要求，本着国家高等院校教育教学改革的精神，根据本科院校应用型人才培养需求的实际情况，特编写此书．
本书需要具备的基础知识是微积分，主要介绍复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、积分变换等．笔者本着贯彻“以应用为目的，以够用为度”的原则，力求做到内容简洁，语言精练，逻辑严谨，突出思想与方法，深入浅出地化解概念，融会贯通地分析与说明，突出概念和计算．本书配备典型例题，所设习题难度适中，每章适当小结以帮助读者掌握好重点和基本方法．考虑到计算机的实现是一个重要目标，我们将复变函数与积分变换在MATLAB中的实现写入书中，并列举了涉及每章内容的例题．
本书由潘显兵提出思想和提纲，张媛、伍君芬、程云龙、普会祝、陈波等主要参与编写．编写过程中，编者参阅了大量相关教材和资料并借鉴了其中部分内容。另外，本书的出版得到清华大学出版社的大力支持，在此一并表示衷心感谢！
由于作者水平有限，书中难免有不妥之处，请读者批评指正．
编者
2017年4月
第1章复数与复变函数
1.1复数及其四则运算
1.1.1复数的概念
1.1.2复数的四则运算
1.2复数的几何表示
1.2.1复数的点表示
1.2.2复数的向量表示
1.2.3复数的三角表示与指数表示
1.3复数的乘幂与方根
1.3.1复数的乘积与商
1.3.2复数的乘幂与方根
1.4平面点集的一般概念
1.4.1平面点集
1.4.2平面曲线
1.5复变函数的概念、极限与连续性
1.5.1复变函数的定义
1.5.2复变函数的极限
1.5.3复变函数的连续性
1.6复球面与无穷远点
小结
习题一
第2章解析函数
2.1解析函数的概念
2.1.1复变函数的导数
2.1.2解析函数的概念
2.2函数解析的充要条件
2.3初等函数
2.3.1指数函数
2.3.2对数函数
2.3.3幂函数
2.3.4三角函数
*2.3.5反三角函数
小结
习题二
第3章复变函数的积分
3.1复变函数积分的概念与性质
3.1.1有向曲线
3.1.2复变函数积分的概念
3.1.3复变函数积分存在条件
3.1.4复变函数积分的计算——参数方程法
3.1.5复变函数积分的基本性质
3.2柯西古萨定理与复合闭路定理
3.2.1柯西古萨定理
3.2.2复合闭路定理
3.3原函数与不定积分
3.3.1变上限积分
3.3.2原函数与不定积分
3.4柯西积分公式
3.5解析函数的高阶导数
3.6解析函数与调和函数的关系
小结
习题三
第4章级数
4.1复数项级数
4.1.1复数列的极限
4.1.2复数项级数
4.2幂级数
4.2.1函数项级数与幂级数的概念
4.2.2收敛圆和收敛半径
4.2.3收敛半径的求法
4.2.4幂级数的运算及性质
4.3泰勒级数
4.3.1泰勒定理
4.3.2将函数展开成泰勒级数
4.4洛朗级数
4.4.1双边幂级数
4.4.2解析函数的洛朗展开式
4.4.3将函数展开成洛朗级数
小结
习题四
第5章留数
5.1孤立奇点
5.1.1孤立奇点的定义及其分类
5.1.2孤立奇点的判定
5.1.3无穷远点
5.2留数
5.2.1留数的概念
5.2.2留数的计算
5.2.3函数在无穷远点处的留数
5.3留数在积分上的应用
5.3.1形如∫2π0R(cosθ，sinθ)dθ的积分
5.3.2形如∫+∞－∞R(x)dx的积分
5.3.3形如∫+∞－∞R(x)eaixdx(a>0)的积分
小结
习题五
第6章傅里叶变换
6.1傅里叶变换的概念
6.1.1傅里叶级数
6.1.2傅里叶级数的指数形式
6.1.3傅里叶积分公式与傅里叶变换
6.2单位脉冲函数及其傅里叶变换
6.2.1单位脉冲函数的概念
6.2.2单位脉冲函数的性质
6.3傅里叶变换的性质
6.3.1基本性质
6.3.2卷积
小结
习题六
第7章拉普拉斯变换
7.1拉普拉斯变换的概念
7.1.1拉普拉斯变换的定义
7.1.2拉普拉斯变换的性质
7.2拉普拉斯逆变换
7.3拉普拉斯变换的应用
7.3.1解常微分方程
7.3.2解常微分方程组
7.3.3综合应用
小结
习题七
第8章MATLAB在复变函数与积分变换中的应用
8.1复数及其矩阵生成的命令
8.2复数的运算
8.3复变函数的积分
8.4泰勒级数展开
8.5留数计算
8.6傅里叶变换及其逆变换
8.7拉普拉斯变换及其逆变换
习题答案
参考文献
第1章复数与复变函数
复变函数就是自变量与因变量均为复数的函数，在某种意义下可导的复变函数——解析函数，是本课程的重点研究对象.本章在回顾复数的基本概念与复数的四则运算的基础上，引入复数的几何表示、复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性等概念，为后面研究解析函数奠定必要的理论基础.
1.1复数及其四则运算
1.1.1复数的概念
我们将形如z=x+iy或z=x+yi的数称为复数，其中x和y为实数，i为虚数单位，并规定i2=－1.实数x和y分别称为复数z的实部与虚部，记为
x=Re(z)，y=Im(z).
例如，对复数z=2－i，有
Re(z)=2，Im(z)=－1.
虚部为零的复数就是实数，即x+i·0=x.因此，全体实数可看作全体复数的一部分.实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数.
设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，当且仅当x1=x2，y1=y2时z1=z2，即两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.因此，一个复数等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.
注意一般情况下，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.
我们把实部相同而虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数.z的共轭复数记作z-.设z=x+iy，则
z-=x－iy.
1.1.2复数的四则运算
设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2是两个复数，其四则运算规定如下：
z1±z2=(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)；
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2－y1y2)+i(x1y2+x2y1)；
z1z2=x1+iy1x2+iy2=(x1+iy1)(x2－iy2)(x2+iy2)(x2－iy2)
=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1－x1y2x22+y22(x22+y22≠0).
由上述规定，复数的加(减)法，可按实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)； 复数的乘法，可按多项式的乘法法则进行，然后将结果中的i2换成－1； 复数的除法，可把除式先写成分式的形式，然后分子分母同乘以分母的共轭复数，再进行化简.显然，与实数的四则运算一样，复数的四则运算也满足下面性质：
(1) 交换律z1+z2=z2+z1，z1z2=z2z1；
(2) 结合律(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)，(z1z2)z3=z1(z2z3)；
(3) 分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
容易验证，共轭复数具有如下性质:
(1) z--=z；
(2) z1±z2=z-1±z-2，z1z2=z-1z-2，z1z2=z-1z-2；
(3) zz-=［Re(z)］2+［Im(z)］2=x2+y2(这里z=x+iy)；
(4) z+z-=2Re(z)，z－z-=2iIm(z).
例1设z1=3－2i，z2=2+3i，求z1z2.
解z1z2=3－2i2+3i=(3－2i)(2－3i)(2+3i)(2－3i)=(6－6)+(－9－4)i22+32=－i.
1.2复数的几何表示
1.2.1复数的点表示
因为复数z=x+yi可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实数对与坐标平面上的点一一对应，所以全体复数与坐标
图1.1
平面上的全体点构成一一对应关系，从而复数z=x+yi可以用坐标平面上的点P(x,y)表示，反之亦然(图1.1).
由于x轴上的点对应着全体实数，故x轴称为实轴； y轴上除去原点的点对应着全体纯虚数，故y轴称为虚轴； 两轴所在的平面称为复平面或z平面.
引进复平面之后，我们在“数”和“点”之间建立了联系.为了方便起见，今后我们不再区分“数”和“点”、“数集”和“点集”，说到“点”可以指它所代表的“数”，说到“数”也可以指它所代表的“点”.例如，把复数1－i称为点1－i，把点2+3i称为复数2+3i.
1.2.2复数的向量表示
由于复数与坐标平面上的点一一对应，而坐标平面上的点与起点为原点的向量一一对应，因此，复数z=x+yi也可用向量OP表示(图1.2).
……
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