实变函数论是数学的一个重要分支，它在近代数学的各分支中有着广泛而深刻的应用。《实变函数习题精选》详细解答了《实变函数论》中的练习题和复习题，尤其是其中的难题。它可帮助解难题有困难的读者渡过难关，也可帮助青年教师更好、更有信心地教好这门课。对应于原书，该书共分4章。全书的主要特点是：1.一题多解，使读者打开思路，开阔视野。每题叙述清晰，论证严密；2.给出解题思路，突出关键；3.解答难题时，注意对分析能力与研究能力的培养，尤其是创造性能力的培养；4.注重一般测度论和一般积分理论的论述，有利于概率统计方向的学生对学习研究能力的培养；5.内容、例题的训练与难题解答连贯起来，以使读者融会贯通，获得较强的分析功夫，在学习和研究上呈现出一个飞跃。《实变函数习题精选》可作为综合性大学、理工科大学、高等师范院校数学系数学、概率统计和应用数学专业学生的学习辅助用书。对从事数学分析、实变函数教学工作的青年教师是一部极好的教学参考书。
实变函数是培养学生研究能力的一门极其重要的基础课，也是数学系最难的一门基础课.其核心内容是测度论和积分理论.它是近代分析数学的必备知识.全书主要解答由徐森林、薛春华编写的清华大学出版社出版的《实变函数论》中给出的全部练习题和复习题.本书是为了帮助那些解难题有困难的读者渡过难关； 也是为了帮助讲授实变函数的年轻教师能更好、更有信心地教好这门课.中国科学技术大学数学系1977级出了一大批有名的年轻数学家，大量实变函数论的难题的训练是成功的重要关键.
本书对应于原书共分4章.每章开头都有主要概念和定理的简述，其中还包括一些例题的结论，便利读者阅读习题解答，为了与原教材保持一致，沿用了教材中的序号.全书的主要特点是： 1一题多解，使读者可打开思路，开阔视野.每题叙述清晰，论证严密； 2给出解题思路，突出关键； 3难题解答时，注意到分析能力与研究能力的培养.尤其是创造性能力的培养； 4注意到一般测度论和一般积分理论的论述，有利于概率统计学生的学习和研究能力的培养； 5内容、例题的训练与难题解答连贯起来，定能使读者融会贯通，获得很强的分析功夫，使读者在学习和研究上呈现出一个飞跃.
众所周知，一位专心于数学研究的人必须懂得： 证明一个命题有三种方法.1应用定义、定理和公式； 2与自然数n有关的命题可用数学归纳法； 3应用反证法.另一方面，要说明一个命题不真，只要举一个反例.自然，反例越简单越好.原书的练习题一般只需熟读该节之前的定义（概念）、定理和例题以及它们的证明方法就能解决，而每章的复习题就应熟读该章之前的定义、定理、例题、习题及它们的各种证法.并通过反复的思考、分析，确定应用哪一种证法，哪一个定理.按照正确独特的思路和方法去解决它.特别难的题是极少数.也许几天、几月也不一定想得出来.能力达不到的读者就去阅读本书相应的解答是很有益的.能力特别强的读者可继续想，直到完全想清楚.尤其是关键部分能想出来，体现了读者的智力超强，体现了读者的创造性能力.这是将来研究的方法和结果创新的源泉.
在编写本书的过程中，得到了中国科学技术大学数学系领导和教师们的热情鼓励和大力支持.作者谨在此对他们表示诚挚的感谢.
还要特别感谢的是清华大学出版社的刘颖博士，他为本书的出版提供了热情帮助和建设性的意见.
徐森林胡自胜金亚东薛春华
第1章 集合运算、集合的势、集类
1.1 集合运算及其性质
1.2 集合的势（基数）、用势研究实函数
1.3 集类、环、σ环、代数、σ代数、单调类
1.4 Rn中的拓扑—开集、闭集、Gσ集、Fσ集、Borel集
1.5 Baire定理及其应用
1.6 闭集上连续函数的延拓定理、Cantor疏朗三分集、Cantor函数
复习题1
第2章 测度理论
2.1 环上的测度、外测度、测度的延拓
2.2 σ有限测度、测度延拓的惟一性定理
2.3 Lebesgue测度、Lebesgue-Stieltjes测度
2.5 测度的典型实例和应用
复习题2
第3章 积分理论
3.1 可测空间、可测函数
3.2 测度空间、可测函数的收敛性、Lebesgue可测函数的结构
3.3 积分理论
3.4 积分收敛定理(Lebesgue控制收敛定理、Levi引理、Fatou引理）
3.5 Lebesgue可积函数与连续函数、Lebesgue积分与Riemann积分
3.6 单调函数、有界变差函数、Vitali覆盖定理
3.7 重积分与累次积分、Fubini定理
3.8 变上限积分的导数、绝对（全）连续函数与Newton-Leibniz公式
复习题3
第4章 函数空间Lp(p≥1)
4.1 Lp空间
4.2 L2空间
复习题4
参考文献
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