本教材主要内容为线性代数,包括行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换、内积空间、二次型与厄米型、以及变分法。在保持数学教材应有的逻辑严密性的同时,本书较多地照顾到了物理学的专业特点,在概念的引入、内容的组织、例题的选用、以及术语和习惯等方面,带有明显的物理专业特色,并尽量做到与物理学各专业的后续课程相衔接。在阐述过程中,遵循由具体到抽象的原则,力图通俗易懂。本书适合作为综合性大学物理类各专业的线性代数教材,也可作为各大专院校师生的教学参考书。
本教材的内容是物理学各专业必修的数学基础课。开设这门课是为了让学生掌握线性代数的基本知识和基本方法，提高抽象思维能力，逻辑推理能力以及实际应用能力。作为与传统工科线性代数课程的区别，除行列式、矩阵、线性方程组外，加强了抽象的线性空间和线性映射这部分核心内容。教材给出了全部定理的证明，便于学生理解其含义，了解各个定理间的逻辑结构，以搭建起学科的整体框架。并且零星地介绍了一些现代数学的思想。
崔建伟，男，1981年出生。2003年南京大学物理系本科毕业，2009年1月中科院理论物理研究所博士毕业。2009年5月至2011年8月在清华大学从事博士后研究。主要研究方向为量子场论中的发散问题、Higgs物理、暗物质等超出标准模型的新物理。曾证明了圈正规化在单圈水平上能保持非Abel规范对称性，并得到了正确的beta函数；证明了圈正规化在单圈水平能够保持超对称性，并验证了超对称的不重整定理；给出了比目前文献中常用的规则更简便的Majorana费曼规则；系统研究了镜像暗物质模型的理论机制和观测预言，在PRD、PLB等期刊发表数篇SCI论文。目前讲授《数学物理方法基础》、《群论》、《核物理与粒子物理》等研究生及本科生课程。
目录
第1章行列式(1)
1.1二阶与三阶行列式(1)
1.1.1二元线性方程组与二阶行列式(1)
1.1.2三阶行列式(2)
1.2排列和置换(4)
1.3n阶行列式的定义(8)
1.4行列式的性质(11)
1.5行列式按行（列）的展开(15)
1.6行列式的计算举例(24)
1.7克拉默法则(33)
第2章矩阵(36)
2.1矩阵的定义及运算(36)
2.1.1矩阵的概念(36)
2.1.2矩阵的线性运算(39)
2.1.3矩阵的乘法(40)
2.1.4矩阵的转置(46)
2.1.5方阵的行列式和迹(49)
2.2可逆矩阵(50)
2.3分块矩阵(56)
2.4矩阵的初等变换(62)
2.4.1初等变换、初等矩阵(63)
2.4.2行标准型(65)
2.4.3等价、标准型(69)
2.5矩阵的秩(71)
2.5.1秩的定义(71)
2.5.2秩与初等变换(72)
2.5.3矩阵秩的一些不等式(74)
第3章线性空间(78)
3.1引言(78)
3.1.1代数和线性代数(78)
3.1.2集合论简介(79)
3.1.3常见代数系统简介(82)
3.2线性空间的定义和例子(83)
3.3子空间(87)
3.4向量组的线性无关性(90)
3.4.1线性组合(90)
3.4.2向量组的等价(91)
3.4.3线性相关性(93)
3.4.4极大无关组、秩(96)
3.5n元向量组与矩阵的关系(98)
3.6线性空间的基、维数、坐标(105)
3.6.1基和坐标(105)
3.6.2子空间的直和(109)
3.6.3坐标变换(110)
3.6.4线性空间的同构(112)
第4章线性方程组(115)
4.1线性方程组的基本概念和高斯消元法(115)
4.2线性方程组解的结构(120)
第5章线性变换(128)
5.1线性映射(128)
5.1.1线性映射的定义和基本性质(128)
5.1.2线性映射的运算(131)
5.1.3线性泛函和对偶空间(132)
5.1.4线性变换(133)
5.1.5代数、线性变换代数(136)
5.2线性变换的矩阵表示(137)
5.2.1矩阵表示(137)
5.2.2矩阵表示的变换、相似矩阵(142)
5.3本征值、本征向量(144)
5.4矩阵的相似对角化(153)
5.4.1相似对角化(153)
5.4.2不变子空间(163)
5.4.3同时对角化(165)
5.4.4Jordan标准型简介(166)
第6章内积空间(176)
6.1实内积、欧空间(176)
6.1.1内积的定义(176)
6.1.2度规(178)
6.1.3模、夹角(179)
6.1.4正交、标准正交基(180)
6.1.5一些常见的“空间”简介(182)
6.2标准正交基的存在性(184)
6.2.1Schmidt标准正交化方法(184)
6.2.2正交补空间(190)
6.2.3最小二乘法(192)
6.3正交矩阵和正交变换(195)
6.3.1正交矩阵(195)
6.3.2正交矩阵与标准正交基的关系(196)
6.3.3正交变换(197)
6.4对称变换和实对称矩阵(199)
6.4.1对称变换(199)
6.4.2实对称矩阵本征值和本征向量的性质(200)
6.5幺正空间(205)
6.5.1复内积、幺正空间(205)
6.5.2度规矩阵(207)
6.5.3模、正交、标准正交基(207)
6.5.4Schmidt标准正交化方法(210)
6.5.5正交补空间(212)
6.5.6厄米共轭(213)
6.5.7幺正矩阵和幺正变换(215)
6.5.8厄米矩阵和厄米变换(219)
6.5.9厄米矩阵与幺正矩阵的联系(229)
6.5.10正规矩阵和正规变换(231)
第7章二次型和厄米型(234)
7.1二次型的定义和标准型(234)
7.1.1二次型的定义(234)
7.1.2线性替换(235)
7.1.3二次型的标准型(237)
7.2二次型的规范型和惯性定理(244)
7.2.1二次型的规范型(244)
7.2.2惯性定理(245)
7.3二次型的正定性(247)
7.3.1正定二次型的定义(247)
7.3.2正定的一些充要条件(247)
7.3.3负定、准正定、准负定(249)
7.4厄米型(255)
7.4.1厄米型的定义和等价(255)
7.4.2n元厄米型可化为2n元二次型(256)
7.4.3厄米型的标准型和规范型(256)
7.4.4惯性定理(260)
7.4.5厄米型的正定性(261)
7.4.6矩阵的奇异值分解(264)
7.4.7复对称矩阵的奇异值分解(266)
7.5本征值问题的极值性(266)
7.5.1本征值问题的极值性(266)
7.5.2极大极小值原理(269)
7.5.3一般性结论(270)
7.5.4本征向量组的完备性(271)
第8章变分学(275)
8.1引言(275)
8.2Euler变分方程(276)
8.2.1变分学的基本问题(276)
8.2.2Euler表达式恒等于零的情形(279)
8.2.3Euler方程的形式不变性(280)
8.2.4形式标记——变分导数(280)
8.2.5含有高阶导数的情形(288)
8.2.6含有多个自变函数的情形(289)
8.2.7含有多个自变量的情形(290)
8.3非固定边界条件问题(291)
8.3.1自由边界条件(291)
8.3.2横交条件（约束端点问题）(292)
8.4条件极值问题(293)
8.4.1函数的条件极值问题——Lagrange乘子法(293)
8.4.2测地线问题：泛函的Lagrange乘函法(295)
8.4.3等周问题：泛函的Lagrange乘子法(297)
8.5物理学中的变分原理(299)
参考文献(301)
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