本书是一本介绍随机微分方程的基本思想与方法的简明型教材，先在绪论部分引入随机微分方程的基本概念和背景知识，随后在第2章介绍概率论的基本理论。第3章和第4章深入探讨了布朗运动、白噪声、随机积分的预备知识、It？积分的核心内容（包括It？公式和乘积公式）。第5章系统地阐述了随机微分方程的定义、解的存在唯一性以及解的性质，特别关注了线性随机微分方程的解法。第6章则将理论与实际应用相结合，展示了随机微分方程在金融、物理等多个领域的广泛应用，如期权定价和最优停时问题。
更多科学出版社服务，请扫码获取。
承担国自然科学基金5项，参与国家973项目；发表论文100余篇，其中SCI检索论文98篇
目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 动机 1
1.2 确定和随机微分方程 2
1.3 随机微分 3
1.4 Ito链式法则 4
第1章 练习 6
第2章 概率论中的基本理论 8
2.1 基本定义 8
2.1.1 Bertrand悖论.8
2.1.2 概率空间 10
2.1.3 随机变量 12
2.1.4 随机过程 14
2.2 数学期望、方差 15
2.3 分布函数 17
2.4 独立性 20
2.4.1 条件概率 20
2.4.2 独立事件 21
2.4.3 独立随机变量 23
2.5 Borel-Cantelli引理 26
2.6 特征函数 27
2.7 强大数定律、中心极限定理 29
2.7.1 强大数定律 29
2.7.2 Laplace-De Moivre定理 32
2.7.3 中心极限定理 34
2.8 条件期望 36
2.8.1 动机 36
2.8.2 条件期望的定义方法1 .36
2.8.3 条件期望的定义方法2 .38
2.8.4 性质 40
2.9 鞅 42
2.9.1 定义 42
2.9.2 鞅不等式 44
第2章 练习 45
第3章 布朗运动和白噪声 50
3.1 动机 50
3.1.1 溯源 50
3.1.2 随机游走 51
3.1.3 数学验证 52
3.2 布朗运动的定义、基本性质 54
3.2.1 布朗运动的定义 54
3.2.2 联合概率的计算 54
3.2.3 白噪声 56
3.3 构造布朗运动.59
3.3.1 正交基展开 59
3.3.2 布朗运动的构造 60
3.3.3 Rn上的布朗运动 66
3.4 样本路径 68
3.4.1 样本路径的连续性 68
3.4.2 处处不可微性 71
3.5 Markov性 74
第3章 练习 76
第4章 随机积分 78
4.1 预备知识 78
4.1.1 Paley-Wiener-Zygmund随机积分 78
4.1.2 黎曼和 80
4.2 Ito积分 85
4.2.1 非可料过程 85
4.2.2 阶梯过程 86
4.2.3 Ito积分的定义和性质 89
4.2.4 定义扩展 90
4.2.5 Ito不定积分 91
4.3 Ito公式和乘积公式 92
4.3.1 Ito公式 92
4.3.2 Ito公式的应用 93
4.3.3 Ito乘积公式 95
4.3.4 Ito公式的证明 98
4.3.5 更一般的Ito公式 98
4.4 高维中的Ito积分 99
4.4.1 符号和定义 99
4.4.2 Ito公式和乘积公式 100
第4章 练习 103
第5章 随机微分方程 105
5.1 定义和例子 105
5.1.1 预备工作 105
5.1.2 线性随机微分方程的例子 106
5.2 解的存在唯一性 112
5.2.1 一维情形 112
5.2.2 通过变量代换解随机微分方程 114
5.2.3 一般的存在唯一性定理 116
5.3 解的性质 121
5.4 线性随机微分方程 123
5.4.1 解的形式:狭义线性随机微分方程 124
5.4.2 解的形式:一般标量线性方程 125
5.4.3 线性随机微分方程的一些解法 125
第5章 练习 128
第6章 应用与拓展.131
6.1 停时 131
6.1.1 定义、基本性质 131
6.1.2 随机积分和停时 133
6.1.3 带停时的Ito公式 134
6.1.4 布朗运动和Laplace算子 135
6.2 在偏微分方程中的应用、Feynman-Kac公式 135
6.2.1 偏微分方程解的概率表示公式 135
6.2.2 Feynman-Kac公式 138
6.3 最优停时 140
6.3.1 随机微分方程的停时 140
6.3.2 最优停时 141
6.3.3 解值函数问题 143
6.3.4 设计最优停时 143
6.4 期权定价 144
6.4.1 基本问题 145
6.4.2 套利和对冲 145
6.4.3 数学模型 146
6.4.4 总结 148
6.5 Stratonovich积分 148
6.5.1 动机 148
6.5.2 近似白噪声 149
6.5.3 近似解 149
6.5.4 Stratonovich积分的定义 150
6.5.5 Stratonovich链式法则 152
6.5.6 SDE的转换公式 153
6.5.7 总结 154
第6章 练习 154
附录156
附录A Laplace-De Moivre定理的证明 156
附录B 离散鞅不等式的证明158
附录C 不定 Ito积分连续性的证明 159
参考文献 161
精品教材 更多
