高等代数教程除了第0 章“整数, 数域与多项式”外, 将“线性代数” 内容分为上下两篇, 上篇以较为具体的“线性方程组的一般理论问题”的提出、分析、抽象、解决和引申为线索组织“线性空间理论”, 并在问题的讨论中充分使用它; 下篇以“实二次型的主轴问题”的提出、分析、抽象、解决和引申为线索组织“线性变换理论”, 并在问题的讨论中充分使用它, 这是宏观框架, 详见目录. 其微观处理, 则以“线性相关性” 这一“线性代数” 的核心概念贯穿始终, 且使用了许多独特的处理方法和技巧. 每章后的习题之外, 贯穿于各章节中的诸多“注” 提供了若干思考问题. 另外, 高等代数教程在“现代化处理上” 实现了内容上的诸多“更新”(语言上的, 开发路线上的, 证明方法上的, …), 也给出了内容上的适当的“增新” (诸如引进了出现于28 年前的“关于多项式的FermAt 大定理的初等证明”).
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目录
序言
前言
第0章 整数，数域与多项式 1
0.1 集合，映射与运算 1
0.2 整数 6
0.3 数域 11
0.4 多项式与多项式函数 12
0.5 带余除法，余数定理和零点-因子定理 17
0.6 最大公因式与最小公倍式 18
0.7 因式分解与重因式 24
0.8 C,R和Q上的多项式 31
0.9 关于多项式的Fermat大定理的一个初等证明 36
习题0 40
上篇 线性方程组的一般理论问题
引言 线性方程组，消元解法及其在增广矩阵上的实现 49
习题 56
第1章 矩阵代数 58
1.1 矩阵代数 58
1.2 分块矩阵 64
1.3 矩阵的初等变换与等价标准形 71
习题1 74
第2章 一类特殊线性方程组的行列式法则（Cramer法则） 78
2.1 n阶（方阵的）行列式 78
2.2 行列式的基本性质（特别地，方阵代数与行列式）及其应用 81
2.3 线性方程组的Cramer法则 90
2.4 行列式的渐式 95
2.5 行列式的（一种）公理化定义 97
习题2 99
第3章 线性方程组的一般理论 105
3.1 n元向量的线性相关性与方程组的求解问题 105
3.2 矩阵的秩与方程组的求解问题 110
3.3 线性方程组的解的结构 117
习题3 127
第4章 线性空间与线性方程组 133
4.1 线性空间与其子空间 133
4.2 维数，基底，坐标与Cramer法则 137
4.3 坐标变换与Cramer法则 143
4.4 线性空间的同构与线性方程组理论的一个应用 148
4.5 线性方程组解集的几何结构 151
习题4 153
第5章 对称双线性度量空间与线性方程组 158
5.1 线性空间上的线性和双线性函数 158
5.2 对称双线性度量空间与线性方程组可解的几何解释 163
5.3 Euclid空间 166
5.4 向量到子空间的距离与线性方程组的最小二乘法 174
习题5 179
下篇 实二次型的主轴问题
引言 二次型主轴问题的几何原型 185
1 二次型的一般问题 186
2 从二次曲线讲起——实二次型主轴问题的几何原型 187
习题 193
第6章 线性空间上的线性变换 194
6.1 线性变换及其合成和矩阵表示 194
6.2 不变子空间，特征根与特征向量 204
6.3 特征多项式与最小多项式 208
6.4 Cayley-Hamilton定理的传统证明 221
习题6 222
第7章 线性空间关于线性变换的一类直和分解 230
7.1 线性映射（特别地，线性变换）的像与核 230
7.2 线性空间关于线性变换的一类直和分解 236
习题7 241
第8章 Euclid空间上的两类线性变换与二次型主轴问题 242
8.1 正交变换与对称变换 242
8.2 二次型的主轴问题 246
8.3 一个应用（将一对实二次型同时化简为平方和）253
8.4 二次型的一般问题 259
习题8 276
第9章 引申——一般矩阵的（相似）标准形 280
9.1 λ矩阵及其等价标准形 280
9.2 λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子 285
9.3 矩阵的相似与其特征矩阵的等价 289
9.4 矩阵的不变因子与Frobenius(有理）标准形 292
9.5 矩阵的初等因子与Jacobson标准形（特例为Jordan标准形） 295
9.6 Jordan标准形的几何解释 302
习题9 304
参考文献 308
索引 309
第 0章整数,数域与多项式
线性代数 (或称一次代数)的讨论必然要使用多项式的一些基本概念,这是本书要介绍一点多项式的基本概念的直接缘由.另外,多项式作为代数学中最基本的对象之一,在代数学的各个分支以及其他数学学科中,或者构成其基本内容,或者多多少少要被涉及,所以本书作为一本基础教程对它作一点起码的介绍,也有更广泛的意义.
这里要介绍的多项式的一些最基本的事项与整数的许多基本事项是平行的,两相对照十分有趣,这又是要先讲一点整数的原因.
数量领域内的代数学,问题的讨论常常需要事先明确解决问题的数量范围.数量的加、减、乘、除等合成的性质通常称为数量的代数性质,而数量的代数学所研究的问题基本上涉及的就是数量的代数性质,它们是有理数全体、实数全体和复数全体所共有的,为此,我们要引入数域这一基本概念,作为我们讨论数量领域内代数学的一个基础.
本章乃至全书的讨论要使用一些集合论的语言,因此,我们的 0.1节先用于回顾集合及其相关概念,井尽量将它们精确化.
0.1集合,映射与运算
集合是数学中少数不加定义的概念 (称为元概念)之一,它被界定为具备某种性质的对象的全体.关于整数,依我们的经验,它们是
0, ±1, ±2, , ±n, .
而整数的全体 Z就是一个集合,称 Z为整数集.构成一个集合 A的每一个对象称为这一集
合的一个元素,这一关系,记为 x ∈A,称为 “x属于A”;否则记为 x/∈A,称为 “x不属于A”.例如, .2 ∈Z, 12
∈/Z.
不含任何元素的集合称为空集,记为 所谓一个集合是己知的,指的是构成 A的全体对象是己知的.因此,刻画一个集合,就是阐述这个集合是由哪些元素构成的.要阐述这一点,一个直截了当的方法就是将这个集合的全部对象罗列出来,这对于由有限个元素组成的集合 (称为有限集,否则称为无限集,通常用 |A|表示集合 A含元素的个数),都是行得通的,例如,由 1, 2, 3组成的集合 A,我们就可以用这一罗列法将 A表示为
A = {1, 2, 3}; (0.1)
这一方法对于某些无限集也可以使用,例如,整数集 Z可表示为
但是,更一般的阐述方法是使用定义这一集合的性质.于是,如果集合 A是由具有性质 P的所有对象构成的,那么我们就可以表示 A为
A = {x | x具有性质 P }.
例如,平面上落在双曲线 x2 . y2 =1上的点 (x, y)的全体 M,就可写为
M = {(x, y) | x 2 . y 2 =1};
又如, Z可以写为 Z = {x | x是整数}.
前面的罗列法也可归为后面的这一阐述方法,例如,式 (0.1)中的 A可以写为 A = {x | x =1, 2, 3},
此时,所使用的性质 P是 P =“x是 1,或者 2,或者 3”.任给两个集合 A, B,我们可以使用下述各种合成的方法构造一些新的集合: C1 = {x | x ∈ A,或 x ∈ B}, C2 = {x | x ∈ A,且 x ∈ B}, C3 = {x | x ∈ A,且 x/∈ B}, C4 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B},
分别记它们为
C1 = A ∪ B, C2 = A ∩ B, C3 = A . B, C4 = A × B,
且分别称 C1,C2,C3和 C4为集合 A与 B的井,交,差和 DescArtes积.
除了集合之间的上述基本合成 (它们原则上都可以由两个集合推广到多个集合)外,集合间还有一种基本关系,称为包含 (或包含关系).
令 A, B为两个集合.称 A包含在集合 B中 (或称 B包含 A,也称 A为 B的子集),记为 A . B,即如果 x ∈ A意味着 x ∈ B.例如,对于式 (0.1)中的 A,有 A . Z;称 A与 B相等,记为 A = B,如果 A . B,且 B . A,即 A与 B是同一个集合;称 A真包含在 B中 (或称 B真包含 A,也称 A是 B的真子集),即如果 A . B,但 A 任何集合 A以自身 A
= B.和空集 .为自己的子集,这两个子集称为平凡子集.若 A = {1, 2, 3},则 A的所有子集为
., {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},A,
其中前 7个子集是真子集,中间 6个子集是非平凡子集.
B的井,变,差和 DescArtes积.现在,我们可以再介绍集合的另外两种合成了.
d
x∈ S1} ( d
C5 ={ x | x ∈ S| =表示用右边定义左边)
和
d
C6 ={ A | A. S}
的差相联系, S1 = S . S1.
下面我们要回顾的是作为函数推广的所谓集合间的映射的概念.
A在 f下的象, A为 b在 f下的一个原象.
f : A.→ B A = f(A).
.→ b称 A(B)为 f的定义域 (值域),记 A = D(f),B = R(f).又令 Imf= { b∈ B | (. A ∈ A) f(A)= b} , f.1(b)= { A∈ A | f(A)= b} ,b∈ B.
例如,若记 2Z = { 2n | n∈ Z} ,
f: Z .→ 2Z .→ 4 | 其中 | n|表示 n∈ Z的绝对值.此时,
Imf = { 4 | n |n∈ Z} = { 0,4,8,12,} .对于任意 m∈ 2Z,
读考查取 (0.1)与 及 与者可以为式 中的 和 为 来一下 的包含关系以AABZABA集子集即令 为一合 为它的分别称.SSSS,,.11 辛旱S()(2);记记与集为 在 中的集和 的集 分别为为 后者也为 两合PSSSCSCS,,1516定义 0.1.1集映每令 为两个合 到的一个射是一个法则 使得 中的一A,BABfA.,按唯应 (),与 此记个元素 照这一法则都一确定 中的一个元素 对时 称 为Bbbfb=AAA,,们映用面我表示 到的一个射 通常下的方式:ABf象完全原象们分别称它为 的和 在 下的∈fbBf.让 应于4 们有映则对时 我一射||∈ Znn,()(0.2) | f=nnn,
{ 0} ,
f.1(m)=
m m
,当 m>0,且 m为 4的倍数时,
, .
当 m=0时,
4 4
.,其他情况.
映射 f : A .→ B和 g : A .→ B称为相等的,如果 (. A ∈ A) f(A)= g(A).称映射 f : A .→ B是一个单射,或 1 . 1映射 (满射,或到上的映射),如果 (. b ∈ B) | f.1(b) | : 1(Imf = B),或者说,(. A1,A2 ∈ A) A1 = A2 . f(A1)= f(A2)((. b ∈ B)| f.1(b) | . 1),
即 A中不同的元素在 f下的象也不同 (B中的每一个元素都是 A中的某一个元素在 f下的象),其中 | D |表示集合 D中含元素的个数.称映射 f : A .→ B是一个双射,或一一对应,如果 f既是一个单射,又是一个满射.式
(0.2)中的映射显然既不是单射,也不是满射.下面的映射 f1 : Z .→ Z
n .→ 2n, f2 : Z .→ { 1, 2}
1, 当 2 ↑ n时,
n .→f3 : Z .→ 2Z 2,当 2 | n时,
n .→ 2n,
显然 , f1,f2,f3分别是一个单射但非满射、满射但非单射、双射的例子.我们可以借助己知的映射
f : A .→ B, g : B .→ C,
用下面的方法定义一个新的映射
h : A .→ C
A .→ g(f(A)),记 h = g . f,称为 f与 g的合成.显然,这一合成是满足结合律的,即对于任何映射
f : A .→ B, g : B .→ C, h : C .→ D,
有
h . (g . f)=(h . g) . f.定理 0.1.1映射 f : A .→ B是一个单射 (满射)当且仅当存在 g : B .→ A,使得 g . f = iA (f . g = iB),其中 iA为 A到自身的所谓恒等映射,即对于任何 A ∈ A, iA(A)= A.
证明若映射 f : A .→ B是一个单射,则对于任何 b ∈ B, | f.1(b) | : 1.任意取定 A中一元素 A0,当 | f.1(b) | =0(即 f.1(b)= .)时,让 A0与 b对应;当 | f.1(b) | =1时,令 f.1(b)= { A} ,则让 A与 b对应.这一对应就确定一映射 g : B .→ A.显然,对于任意 A ∈ A,
(g . f)(A)= g(f(A)) = A,
即 g . f = iA.反之,若存在 g : B .→ A,使得
g . f = iA,
的 的),有
则对于任意 A, A∈ A,由 f(A)= f(A
A = iA(A)=(g . f)(A)= g(f(A)) = g(f(A的)) = (g . f)(A的)
= iA(A的)= A的.
因此, f是单射.若 f是一个满射,则 Imf = B,即对于任一 b ∈ B, f.1(b)= 现对于任一 b ∈ B,在 f.1(b)中取一 A,作
g : B .→ A
b .→ A.
于是,对于任意 b ∈ B, (f . g)(b)= f(g(b)) = f(A)= b,
即 f . g = iB.反之,若存在 g : B .→ A,使得
f . g = iB,
则对于任一 b ∈ B, b = iB(b)=(f . g)(b)= f(g(b)) ∈ Imf,
因此 ,Imf = B,即 f是一个满射.口由定理 0.1.1及其证明 (当 f既是一个单射又是一个满射的时候,证明中所作出的两个
g : B .→ A实际上是同一个),我们有如下推论.推论 0.1.1映射 f : A .→ B是一个双射当且仅当存在 g : B .→ A,使得
g . f = iA,f . g = iB.
定义 0.1.2当推论 0.1.1的充要条件成立时,称 f为可逆映射,显然, g由 f唯一确定,
记 g = f.1 ,称为 f的逆映射.于是,推论 0.1.1又可陈述为推论 0.1.2映射 f为双射当且仅当 f为一可逆映射.
在这一节的最后,我们给出两类特殊的映射.
一类映射是 f : A .→ A,我们称此类映射 f为集合 A上的变换,也称它们为 A上的一元运算.例如,取 A = {1, 2, 3}, A上的变换可以写成
. .
1 2 3
f = ,
i1 i2 i3
其中 ij = f(j).而每一 ij都有三种选择 (1,或 2,或 3),因此, A = {1, 2, 3}上的变换恰有 27
个.
另一类映射是, f : A ×A .→A,我们称此类映射 f为 A上的二元运算.
例如,通常的加法 “+”就是 Z上的一个二元运算.
+: Z ×Z .→Z
(n, m) .→n + m.
通常的减法 “.”,乘法 “×”也一样.但通常的除法 “÷”则不是 Z上的一个二元运算,即
(n, m) .→n ÷m, n,m ∈Z
不是 Z ×Z到 Z的一个映射.
0.2整数
对于整数
0, ±1, ±2, , ±n,
以及整数集 Z关于加、减、乘运算和关系 “:”的基本事项,我们都使用读者至今积累起来的经验.在这里我们对整数的讨论就从这些经验和下面的一个公理出发.
良序公理令 S .{n | n ∈Z,n 0}. (0.3)
若 S = .,则 S中有最小元素 (即
. n0 ∈S, .n ∈S, n0 : n).
注 0.1式 (0.3)中的 0可以被任何整数替代.
应用非负整数的良序公理,我们可以证明非负整数的另一个称为数学归纳法的性质.我们在此陈述这一性质的两种基本形式,但只证.二个,另一个的证明读者自行作出.
第一数学归纳法令 Pn是以非负整数 0, 1, 2, 为下标的一列命题.若
(1) P0为真,
(2)对于任意 k 0, “Pk为真”意味着 “Pk+1为真”,则对于任意 n 0, Pn为真.
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