本书介绍各种常用的数值计算方法，内容包括插值、拟合、线性方程组和非线性方程(组)数值解和常微分方程数值解。描述方法的计算对象、分析计算原理、用例题演示计算步骤，并给出部分数值方法的算法描述，附录中给出符号计算语言Mathematica做计算方法题目的函数和实例。
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目 录
绪论 1
0.1 数值计算方法与算法 1
0.2 误差与有效数字 2
0.3 矩阵和向量范数 4
0.3.1 向量范数 4
0.3.2 矩阵范数 7
0.3.3 矩阵的条件数 12
第 1 章 插值 15
1.1 拉格朗日 (Lagrange) 插值多项式 15
1.1.1 线性插值 16
1.1.2 二次插值 18
1.1.3 n 次拉格朗日插值多项式 20
1.2 牛顿 (Newton) 插值多项式 25
1.2.1 差商及其计算 25
1.2.2 Newton 插值 27
*1.3 Hermite 插值 32
1.4 三次样条函数 38
1.4.1 分段插值 38
1.4.2 三次样条插值的 M 关系式 40
1.4.3 三次样条插值的 m 关系式 44
习题 1 45
第 2 章 最小二乘拟合 47
2.1 拟合函数 47
2.2 多项式拟合 49
2.3 矛盾方程组 54
习题 2 58
第 3 章 非线性方程求解 60
3.1 迭代法 60
3.1.1 实根的对分法 60
3.1.2 不动点迭代 62
3.2 Newton 迭代法 65
3.3 弦截法 69
3.4 求解非线性方程组的 Newton 方法 70
习题 3 73
第 4 章 求解线性方程组的直接法 75
4.1 Gauss 消元法 76
4.1.1 Gauss 顺序消元法 77
4.1.2 Gauss 列主元消元法 81
4.2 直接分解法 84
4.2.1 Doolittle 分解 85
4.2.2 Crout 分解 89
4.2.3 特殊线性方程组 90
习题 4 94
附录 95
第 5 章 求解线性方程组的迭代方法 97
5.1 简单 (Jacobi) 迭代 98
5.1.1 Jacobi 迭代计算公式 98
5.1.2 Jacobi 迭代收敛条件 100
5.2 高斯-赛德尔 (Gauss-Seidel) 迭代 101
5.2.1 Gauss-Seidel 迭代计算 101
5.2.2 Gauss-Seidel 迭代矩阵 102
5.2.3 Gauss-Seidel 迭代算法 103
5.3 松弛迭代 105
5.3.1 松弛迭代计算公式 105
5.3.2 松弛迭代矩阵 105
*5.4 经典迭代格式的统一 106
习题 5 107
第 6 章 数值积分和数值微分 110
6.1 牛顿-柯特斯数值积分 110
6.1.1 插值型数值积分 111
6.1.2 牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes) 积分 112
6.2 复化数值积分 117
6.2.1 复化梯形积分 117
6.2.2 复化 Simpson 积分 119
6.2.3 自动控制误差的复化积分 121
6.2.4 龙贝格 (Romberg) 积分 124
*6.3 重积分计算 125
*6.4 高斯 (Gauss) 型积分 128
6.4.1 勒让德 (Legendre) 多项式 129
6.4.2 Gauss-Legendre 积分 130
6.5 数值微分 132
6.5.1 差商与数值微分 132
6.5.2 插值型数值微分 135
习题 6 137
第 7 章 常微分方程数值解 139
7.1 欧拉 (Euler) 公式 140
7.1.1 基于数值微商的 Euler 公式 140
*7.1.2 Euler 公式的收敛性 143
7.1.3 基于数值积分的近似公式 145
7.2 Runge-Kutta 方法 146
7.2.1 二阶 Runge-Kutta 方法 146
7.2.2 四阶 Runge-Kutta 公式 149
7.3 线性多步法 151
7.4 常微分方程组的数值解法 154
7.4.1 一阶常微分方程组的数值解法 154
7.4.2 高阶常微分方程数值方法 157
*7.5 常微分方程的稳定性 157
习题 7 162
第 8 章 计算矩阵的特征值和特征向量 164
8.1 幂法 164
8.1.1 幂法计算 164
8.1.2 幂法的规范运算 167
8.2 反幂法 171
*8.3 实对称矩阵的 Jacobi 方法 172
*8.4 QR 方法简介 179
8.4.1 QR 方法初步 179
8.4.2 矩阵的 QR 分解 180
习题 8 183
参考文献 184
附录 1 上机作业题 185
附录 2 C 语言程序示例 189
附录 3 在符号语言 Mathematica 中做题 199
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