第1章 数学建模概论 1
1.1 数学模型和数学建模 1
1.1.1 模型 1
1.1.2 数学模型 1
1.1.3 数学建模 2
1.2 建立数学模型的过程与建模示例 2
1.2.1 建立数学模型的过程 2
1.2.2 建模示例：椅子摆放问题 3
1.3 建立数学模型的一般步骤 5
习题1 9
第2章 初等数学模型 10
2.1 量纲分析法 10
2.1.1 量纲齐次性原则 10
2.1.2 量纲分析的一般方法 10
2.1.3 建模示例：航船阻力问题 11
2.1.4 建模示例：抛射问题 13
2.2 比例与函数建模法 15
2.2.1 动物体型问题 15
2.2.2 双层玻璃窗的功效 16
2.2.3 席位分配 17
习题2 20
第3章 微分方程与差分方程模型 21
3.1 微分方程理论简介 21
3.1.1 微分方程基本概念 21
3.1.2 微分方程求解 22
3.2 经济增长模型 24
3.2.1 道格拉斯（Douglas）生产函数 24
3.2.2 资金与劳动力的最佳分配 25
3.2.3 劳动生产率增长的条件 25
3.3 人口的预测和控制 27
3.3.1 指数增长模型 28
3.3.2 阻滞增长模型Logistic模型 28
3.3.3 模型的参数估计、检验和预报 30
3.3.4 考虑年龄结构和生育模式的人口模型 32
3.4 军事上的应用 36
3.4.1 军队作战模型 36
3.4.2 模型求解 38
3.5 差分方程理论简介 41
3.5.1 差分方程的概念 41
3.5.2 一阶常系数线性差分方程及其迭代解法 42
3.5.3 差分方程在经济学中的应用 44
习题3 45
第4章 随机模型 46
4.1 概率论基本知识 46
4.1.1 概率的概念和性质 46
4.1.2 随机变量及其分布 47
4.1.3 随机变量的数学特征 47
4.1.4 常用分布 48
4.2 数理统计基本知识 49
4.2.1 三大抽样分布 49
4.2.2 参数估计 50
4.2.3 假设检验 53
4.2.4 方差分析 56
4.2.5 回归分析 58
4.3 随机转移模型 65
4.3.1 马氏链模型 65
4.3.2 基因遗传与生物繁殖 69
4.4 随机存储模型 71
4.4.1 离散型随机变量的存储模型 71
4.4.2 连续型随机变量的存储模型 72
4.5 蒙特卡罗方法 73
4.5.1 蒙特卡罗方法的来源和思想 73
4.5.2 蒙特卡罗方法的应用 75
4.5.3 蒙特卡罗形式与一般步骤 76
4.5.4 随机数的生成 77
习题4 82
第5章 规划模型 83
5.1 线性规划 83
5.1.1 一般线性规划问题的数学模型 83
5.1.2 线性规划问题的基本性质 86
5.1.3 单纯形法 87
5.1.4 人工变量法 91
5.1.5 对偶理论与灵敏度分析 95
5.2 目标规划 100
5.2.1 目标规划问题的提出 101
5.2.2 目标规划的数学模型 102
5.2.3 目标规划的图解法 103
5.2.4 目标规划的单纯形法求解 105
5.2.5 目标规划的灵敏度分析 108
5.3 整数规划 111
5.3.1 整数规划模型及其一般形式 111
5.3.2 割平面法 112
5.3.3 分枝定界法 114
5.3.4 0-1型整数规划 116
5.3.5 指派问题 117
5.4 动态规划 120
5.4.1 多阶段决策问题 120
5.4.2 动态规划的基本概念及基本定理 121
5.4.3 动态规划模型及求解方法 122
5.4.4 动态规划的应用 127
习题5 131
第6章 图论模型 134
6.1 图的基本概念与基本定理 134
6.1.1 图的定义、顶点的次数及图的同构 135
6.1.2 路径与连通的相关概念 137
6.1.3 有向图的连通性 138
6.1.4 图的矩阵表示 139
6.2 树与生成树 141
6.2.1 树的定义及其性质 142
6.2.2 生成树的定义及构造方法 144
6.2.3 最小生成树（MST）问题及其算法 145
6.2.4 最小生成树问题的应用及推广 147
6.3 最短路径问题 148
6.3.1 解最短路径问题的基本方法 148
6.3.2 赋权有向图中的最短路径 153
6.3.3 最短路径问题的扩展 154
6.3.4 最短路径的应用选址问题及中国邮递员问题 156
6.4 网络最大流、最小流问题 158
6.4.1 基本概念及定理 158
6.4.2 解最大流问题的方法：Ford和Fulkerson标记法 160
6.4.3 最小费用流及相关解法 161
习题6 163
第7章 其他模型 166
7.1 模糊数学 166
7.1.1 模糊集与模糊子集 166
7.1.2 模糊聚类分析 169
7.1.3 模糊模型识别 172
7.1.4 经典综合评判决策 175
7.1.5 模糊协调决策法 177
7.2 灰色系统理论 179
7.2.1 灰色系统基本概念 179
7.2.2 灰色系统预测 179
7.2.3 灰色系统模型的检验 181
7.2.4 灰色系统理论的建模思想 182
7.2.5 灰色系统预测模型的建立 183
7.2.6 应用举例 184
7.3 层次分析法建模 188
7.3.1 层次分析法的基本步骤 188
7.3.2 步骤的实现过程 189
7.4 数据拟合与插值 193
7.4.1 简介 193
7.4.2 数据拟合的最小二乘法 193
7.4.3 多项式插值 200
7.5 变分法建模 205
7.5.1 变分法简介 205
7.5.2 国民收入的增长 209
7.5.3 产品价格的最佳调整 211
7.6 合作收益分配 213
7.6.1 合作对策 213
7.6.2 三人经商模型 214
7.6.3 建厂费用模型 215
习题7 219
第8章 Mathematica软件简介 221
8.1 Mathematica入门 221
8.1.1 Mathematica界面 221
8.1.2 输入与执行 222
8.1.3 Mathematica的语法要求 222
8.1.4 查询与帮助 223
8.1.5 文件的存取 223
8.1.6 Mathematica的扩展 223
8.1.7 数的表示和计算 223
8.1.8 变量的表示与运算 224
8.1.9 函数的表示与运算 225
8.1.10 表的表示 227
8.2 利用Mathematica绘制图形 227
8.2.1 基本一元函数作图 227
8.2.2 参数方程所确定的函数作图 229
8.2.3 极坐标式函数作图 230
8.2.4 隐函数作图 230
8.2.5 绘制平面散点图 231
8.2.6 平面图形的可选项 231
8.2.7 空间图形的绘制 234
8.3 利用Mathematica解方程 236
8.3.1 n次方程的求解 236
8.3.2 求解方程近似根 237
8.3.3 方程组的求解 238
8.4 利用Mathematica求解微积分 238
8.4.1 求极限 238
8.4.2 求导数和微分 240
8.4.3 求不定积分与定积分 241
8.4.4 求多重积分 242
8.4.5 求解微分方程 242
8.4.6 无穷级数的相关运算 243
8.4.7 求函数的极大值与极小值 244
8.4.8 数据拟合 244
8.5 利用Mathematica进行线性代数运算 245
8.5.1 矩阵的输入与输出 246
8.5.2 矩阵的运算 246
8.5.3 求解线性方程组 248
8.5.4 向量组的单位正交化 249
8.6 利用Mathematica进行概率与数理统计运算 249
8.6.1 常用随机变量分布的计算 249
8.6.2 数据的统计与分析 251
8.6.3 区间估计 252
8.6.4 假设检验 253
第9章 LINDO软件简介 255
9.1 LINDO软件的求解过程 255
9.2 一个简单的LINDO程序 256
9.3 灵敏度分析 259
9.4 整数线性规划的求解 264
9.5 二次规划求解 268
附录272
附录1 部分习题参考答案 272
附录2 标准正态分布表 280
附录3 相关系数临界值表 281
附录4 历年全国大学生数学建模竞赛题目 283
参考文献 286
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