定 价:19.8 元
丛书名:
- 作者:张波 ,张伦传 编
- 出版时间:2012/8/1
- ISBN:9787302290926
- 出 版 社:清华大学出版社
适用读者:本书可作为统计学、数学等学科的教材或相关专业人员的参考书
- 中图法分类:O174.1
- 页码:145
- 纸张:胶版纸
- 版次:1
- 开本:16开
- 字数:(单位:千字)
《应用统计学系列教材:实变函数论讲义》以集合论基本知识为出发点,重点讲授勒贝格测度和勒贝格积分理论,核心是勒贝格积分,而特征函数是联系可测集、可测函数和勒贝格积分的纽带。对于p次可积函数类,从空间的角度刻画了其整体性质,核心是完备性和可分性。最后通过引入绝对连续函数概念,获得了牛顿-莱布尼茨公式成立的充要条件。
《应用统计学系列教材:实变函数论讲义》可作为统计学、数学等学科的教材或相关专业人员的参考书。
实变函数论是中国人民大学统计学院为本科生开设的一门选修课,总课时约54学时.从实变函数的内在逻辑体系来看,集合及其运算(包括集合列的极限运算)是基础,开、闭集是构成可测集的基石;而可测集上的特征函数不但是构造一般可测函数的基础,而且是联系测度和积分的纽带,因此,我们对其进行重点讲述. 在内容的选取上,本书充分考虑了统计学专业的特点,去掉了一些复杂的数学证明. 在学习勒贝格积分之后,马上学习Lp空间,为进一步学习概率论与数理统计的后续课程做好准备.
本书的编写力求做到下面两点:
第一,本着由浅入深、循序渐进的原则.比如,第2章测度理论的编写,先详细讨论直线上勒贝格测度及直线上勒贝格可测集的构造,然后以此为基础,相关的结论可平行推广到n维欧氏空间上.由此进一步考虑一般抽象空间上的测度论.
第二,注重学以致用.在保持实变函数理论核心知识体系的同时,尽量简明扼要,使读者既见树木又见森林;每章均配备有代表性的例题和习题,这样不但有助于加深对抽象概念及命题的认识和理解,而且有助于对实变函数理论特有的推理方法的理解和掌握.
总之,设置本课程的目的,在于培养学生掌握有关勒贝格测度与勒贝格积分方面的基本知识和技能,培养严谨的数学思维能力,提高应用现代数学方法分析和解决问题的能力.教学应达到的总体目标是:
1. 使学生系统地掌握各种勒贝格测度、勒贝格积分的定义思想与过程;
2. 使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的特点、应用条件以及与黎曼积分之间的关系;
3. 提高学生掌握和运用现代数学基本知识的能力.
本书根据作者在中国人民大学统计学院讲授实变函数论所积累的讲稿整理而成. 课程的助教和几位研究生为此付出了很多努力,在此表示感谢. 特别要感谢周生彬博士,在内容修改和习题配置方面他花费了许多宝贵时间,没有他的贡献,本书很难按时完成. 同时,要感谢中国人民大学统计学院将这本选修课讲义列为学院的“十二五”规划教材,使得本书有机会完成写作和出版.
由于编者水平所限,谬误之处在所难免,敬请批评指正.
编 者2012年2月
前言
第1章 集合与点集
1.1 集合及相关概念
1.1.1 集合的运算
1.1.2 集合列的上极限和下极限
习题
1.2 映射、基数与可数集
1.2.1 映射
1.2.2 基数
1.2.3 可数集
1.2.4 不可数集与连续基数
习题
1.3 rn中的点集
1.3.1 n维欧氏空间rn
1.3.2 开集、闭集及其性质
1.3.3 开集与闭集的构造
习题
1.4 集类选讲
1.4.1 集类
1.4.2 环与代数
1.4.3 单调类
习题
第2章 测度理论
2.1 勒贝格测度
2.1.1 勒贝格外测度
2.1.2 勒贝格测度的定义
2.1.3 勒贝格测度的另一定义
习题
2.2 勒贝格测度的性质
习题
2.3 勒贝格可测集的结构与测度空间
2.3.1 勒贝格可测集的结构
2.3.2 测度空间
2.3.3 不可测集举例
习题
第3章 可测函数
3.1 可测函数概念及其性质
3.1.1 可测函数概念
3.1.2 可测函数的基本性质
习题
3.2 可测函数列的收敛性
3.2.1 几乎处处收敛与几乎一致收敛
3.2.2 可测函数列的依测度收敛性
习题
3.3 可测函数的构造
习题
第4章 勒贝格积分
4.1 黎曼积分存在的充要条件
4.1.1 引入勒贝格积分的常用方法
4.1.2 黎曼可积的充要条件
习题
4.2 有界函数的勒贝格积分
习题
4.3 一般可测函数的勒贝格积分
习题
4.4 积分的极限定理
习题
4.5 乘积测度和富比尼定理
4.5.1 乘积测度与勒贝格积分的几何意义
4.5.2 富比尼定理
习题
第5章 lp空间
5.1 lp空间的范数与度量
习题
5.2 lp空间的性质
习题
5.3 l2空间
习题
第6章 微分与不定积分
6.1 有界变差函数
6.2 单调函数的导数
6.3 绝对连续函数与勒贝格不定积分
6.3.1 绝对连续函数
6.3.2 牛顿-莱布尼茨公式
习题
索引
参考文献